关于抽象初等类模块稳定性问题

Mazari-Armida 的一个开放问题是：每个抽象初等类 $R$-模 $(\mathbf{K}, \leq_{\mathrm{pure}})$（其中 $\leq_{\mathrm{pure}}$ 为纯子模关系）是否稳定。我们通过构造由无秩张力自由 abelian 群构成的不稳定抽象初等类 $(\mathbf{K}, \leq_{\mathrm{pure}})$ 来回答此问题。另一方面，我们在 ZFC 中证明：若 $R$ 为任意环且 $(\mathbf{K}, \preccurlyeq)$ 为 $R$-模的抽象初等类且其为 $\kappa$-局部（亦称 $\kappa$-温和）且 $\kappa \geq \mathrm{LS}(\mathbf{K}, \preccurlyeq)$，则 $(\mathbf{K}, \preccurlyeq)$ 几乎稳定，其中几乎稳定是我们在本文中引入的新概念，若存在合成性则等价于常规稳定性。在此意义下，假设存在强紧凑基数 $\kappa$，则每个具有合成性的 $R$-模抽象初等类 $(\mathbf{K}, \preccurlyeq)$ 且 $\kappa > \mathrm{LS}(\mathbf{K}, \preccurlyeq)$ 均为稳定。