论 QAC0 的泡利谱

电路类 $\mathsf{QAC}^0$ 由 Moore（1999）引入，作为常数深度量子电路的模型，其门集包含多量子比特 Toffoli 门。证明此类电路的下界是量子电路复杂性中长期的挑战；特别是，证明多项式规模 $\mathsf{QAC}^0$ 不能计算奇偶校验函数，二十多年来一直是个开放问题。本工作中，我们确定了 $\mathsf{QAC}^0$ 电路的泡利谱概念，可视为经典 $\mathsf{AC}^0$ 电路傅里叶谱的量子类比。我们猜想 $\mathsf{QAC}^0$ 电路的泡利谱满足低度集中，类比于著名的 Linial、Nisan、Mansour 关于 $\mathsf{AC}^0$ 电路低度傅里叶集中的定理。若成立，该猜想立即推出多项式规模 $\mathsf{QAC}^0$ 电路不能计算奇偶校验。我们证明了该猜想对深度为 $d$、多项式规模且至多含 $n^{O(1/d)}$ 个辅助量子比特的 $\mathsf{QAC}^0$ 电路类成立。作为应用，我们获得了新的电路下界和学习结果：该类电路不能在超过 $(\frac{1}{2} + 2^{-\Omega(n^{1/d})})$ 比例的输入上正确计算 $n$ 位奇偶校验函数，且不能在超过 $(1 - \Omega(n^{-1/2}))$ 比例的输入上正确计算 $n$ 位多数函数。此外我们表明，这类含有限辅助量子比特的 $\mathsf{QAC}^0$ 电路可用拟多项式样本复杂度学习，给出了首个针对 $\mathsf{QAC}^0$ 电路的学习结果。更广泛地，我们的结果增添了证据，表明“泡利解析”技术可作为研究量子电路的有力工具。