带有限额外 ancilla 的 QAC0 计算功力

$\mathrm{QAC}^0$ 是常数深度多项式大小的量子电路组成的家族，包含任意单个量子比特单位门和多量子比特 Toffoli 门。它由 Moore [arXiv: 9903046] 引入，作为 $\mathrm{AC}^0$ 的量子对应物，伴随着 $\mathrm{QAC}^0$ 电路不能计算 PARITY 的猜测。在本工作中我们对这一长期猜测作出进展：我们表明，任何深度为 $d$ 的 $\mathrm{QAC}^0$ 电路需要 $n^{1+3^{-d}}$ 个 ancilla 才能计算一个近似度为 $\Theta(n)$ 的函数，其中包括 PARITY、MAJORITY 和 $\mathrm{MOD}_k$。我们进一步在量子态合成和量子通道合成上建立了超线性下界。这是一个 $n^{1+\exp(-o(d))}$ 大小的 $\mathrm{QAC}^0$ 的第一个超线性下界。关于 PARITY，我们表明，将 ancilla 大小进一步提高到 $n^{1+\exp(-o(d))}$ 将意味着 PARITY $\not\in$ QAC0。这些下界通过给出 $\mathrm{QAC}^0$ 电路的低次数近似来获得。我们表明，深度为 $d$ 的 $\mathrm{QAC}^0$ 电路在应用于低次数算子时，其近似度为 $(n+a)^{1-3^{-d}}$ 的多项式近似值。