QAC$^0$ 近似奇偶校验复杂度的界

QAC 电路是含单量子比特门与任意元 Toffoli 门的量子电路。QAC$^0$ 电路为常深度 QAC 电路，是 AC$^0$ 电路的量子类比。我们证明如下：● 对所有 $d \ge 7$ 与 $\varepsilon>0$，存在一个深度为 $d$、规模为 $\exp(\mathrm{poly}(n^{1/d}) \log(n/\varepsilon))$ 的 QAC 电路，可在最坏情况量子输入上将 $n$ 量子比特奇偶校验函数近似到误差 $\varepsilon$ 以内。此前未知亚对数深度的 QAC 电路能否不论规模近似奇偶校验。● 我们引入一类“近乎经典”的 QAC 电路，包含上述上界电路的主要组件，并证明对近似该组件的低深度、近乎经典 QAC 电路规模的一个紧下界。● 任意深度为 $d$ 的 QAC 电路至少需要 $\Omega(n/d)$ 个多量子比特门才能达到对奇偶校验的 $1/2 + \exp(-o(n/d))$ 近似。当 $d = \Theta(\log n)$ 时，这几乎匹配一个轻易得到的精确计算奇偶校验的 $O(n)$ 规模上界。● 至多两层多量子比特门的 QAC 电路不能达到对奇偶校验的 $1/2 + \exp(-o(n))$ 近似，即便非干净地。此前仅知此类电路对足够大的 $n$ 不能干净地精确计算奇偶校验。证明使用了一种可能具有独立意义的量子电路新范式，并基于归约到构造某类我们仿照类似猫妖命名其为“nekomata”的猫态推广的问题。