论 Minnaert 共振的起源

众所周知，在均匀声学介质中，若存在一个小尺度（尺寸为 $\varepsilon$）非均匀体，其质量密度和体积模量均具有高对比度，则会放大所产生的总场。当入射频率接近 Minnaert 频率 $\omega_{M}$ 时，这种放大尤为显著。本文解释了该现象的起源：首先我们证明，频率为 $\omega$ 的入射波的散射由一个自伴的、依赖于 $\omega$ 的 Schr"{o}dinger 算子描述，该算子具有支撑于非均匀体界面的奇异 $\delta$ 型势。接着我们证明，在低能 regime（在我们的设定中对应于 $\varepsilon\ll1$）下，该算子具有非平凡极限（即其渐近地不同于 Laplacian）当且仅当 $\omega=\omega_{M}$。描述该非平凡散射过程的极限算子被显式确定，并属于 Laplacian 的点扰动类。当入射波频率接近 $\omega_{M}$ 时，散射过程经历从渐近平凡行为到非平凡行为的转变。