关于 OA(1536,13,2,7) 及相关的正交数组

基于与等分部之间的联系并借助计算机辅助方法，我们确立了正交数组 OA$(1536,13,2,7)$ 的唯一性，该数组在 [D.G.Fon-Der-Flaass. Perfect $2$-Colorings of a Hypercube, Sib. Math. J. 48 (2007), 740-745] 中作为具有商矩阵 $[[0,13],[3,10]]$ 的 $13$-立方体的等分部被构造。通过对 OA$(1536,13,2,7)$ 进行缩短，我们得到 $3$ 个不等价的 OA$(768,12,2,6)$，这也是对这些参数的完整分类。经我们计算，未分类的二元正交数组 OA$(N,n,2,t)$ 中满足 Friedman 界 $N\ge 2^n(1-n/2(t+1))$ 的首个参数为 OA$(2048,14,2,7)$。此类数组可通过打孔任意长度为 $15$ 的二元 $1$-完美码得到。我们构造了具有这些及类似参数 OA$(N=2^{n-m+1},n=2^m-2,2,t=2^{m-1}-1)$（$m\ge 4$）的正交数组，它们不是打孔的 $1$-完美码。此外，我们证明了任何满足界 $N \ge 2^n(1-(n+1)/2(t+2))$ 且具有偶数 $t$ 的正交数组 OA$(N,n,2,t)$ 都会诱导出 $n$-立方体的等分 $3$-分部。