有限射影线性与酉群中实共轭类数目的研究

我们证明，对任意 $n$ 和 $q$，$\mathrm{PGL}(n, \mathbb{F}_q)$ 中实共轭类的数目等于包含在 $\mathrm{SL}(n, \mathbb{F}_q)$ 中的 $\mathrm{GL}(n, \mathbb{F}_q)$ 的实共轭类数目，从而改进了 Lehrer 的结果，并推广了 Gill 与 Singh 在 $n$ 为奇数或 $q$ 为偶数时成立的结果。进一步，我们证明该数量等于 $\mathrm{PGU}(n, \mathbb{F}_q)$ 中实共轭类的数目，且等于包含在 $\mathrm{SU}(n, \mathbb{F}_q)$ 中的 $\mathrm{U}(n, \mathbb{F}_q)$ 的实共轭类数目，从而改进了 Gow 与 Macdonald 的结果。我们还给出了这一公共数量的生成函数。