有限射影平面中 k 边形的数量

设 $\Pi$ 为阶为 $n$ 的射影平面，$\Gamma_{\Pi}$ 为其列维图（点-线关联图）。对固定的 $k \geq 3$，令 $c_{2k}(\Gamma_{\Pi})$ 表示 $\Gamma_{\Pi}$ 中 $2k$-环的数量。本文中我们证明 $$c_{2k}(\Gamma_{\Pi}) = \frac{1}{2k}n^{2k} + O(n^{2k-2}), \hspace{0.5cm} n \rightarrow \infty.$$ 我们还关于 $\Gamma_{\Pi}$ 中 $2k$-环数量的渐近展开中第三和第四大项提出了一个猜想。该结果也由 Voropaev 于 2012 年独立得到。令 $\text{ex}(v, C_{2k}, \mathcal{C}_{\text{odd}}\cup \{C_4\})$ 表示所有阶为 $v$ 且围长至少为 6 的二部图中 $2k$-环的最大数量。作为上述结果的推论，我们得到 $$\text{ex}(v, C_{2k}, \mathcal{C}_{\text{odd}}\cup \{C_4\}) = \left(\frac{1}{2^{k+1}k}-o(1)\right)v^k, \hspace{0.5cm} v \rightarrow \infty.$$