关于线性丢番图方程非负整数解的个数

我们研究求解方程 $\sum_{i=1}^{n} a_i x_i=b$ 的非负整数解个数 $P(b)$ 的问题，其中 $a_1,a_2,...,a_n$ 为自然数，$b$ 为非负整数。与研究函数 $P(b)$ 的传统方法不同，在我们的研究中，我们未采用数级数理论的技巧，而是主要利用了克罗内克函数的性质和组合学的元素。我们推导出了当 $s\neq 0$ 时，用 $P(r)$, $P(r+M)$,..., $P(r+(s-1)M)$ 表达非负整数 $b$ 的 $P(b)$ 的公式，其中 $s=\left[ n-\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i+r}{M} \right]$ 且在某些特定情况下取极小值；$M$ 为数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 的最小公倍数，$r$ 为 $b$ 模 $M$ 的余数。此外，还推导出了计算任意非负整数 $b$ 的 $P(b)$ 的递推公式，这些公式特别用于求 $P(r)$, $P(r+M)$,..., $P(r+(s-1)M)$。对于 $s=0$ 且 $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ 互质的情况，给出了显式公式 $P(b)=\dfrac{M^{n-1}}{a_1a_2\ldots a_n}C^{n-1}_{\left[\dfrac{b}{M}\right]+n-1}$。为了说明所提出的方法，给出了求解具有 2、3、7 和 $n$ 个变量的线性丢番图方程函数 $P(b)$ 的示例。