论 $n$ 与 $\lfloor \alpha n\rfloor$ 之间的乘性独立性

在本文中，我们研究了无理数 $\alpha$ 的序列 $n$ 与 $\lfloor n \alpha \rfloor$ 之间不同形式的乘性独立性。我们的主要定理表明，对于一大类算术函数 $a, b \colon \mathbb{N} \to \mathbb{C}$，序列 $(a(n))_{n \in \mathbb{N}}$ 与 $(b ( \lfloor \alpha n \rfloor))_{n \in \mathbb{N}}$ 是渐近不相关的。然后应用这个新定理证明了 Erdős-Kac 定理的一个二维版本，断言序列 $(\omega(n))_{n \in \mathbb{N}}$ 和 $(\omega( \lfloor \alpha n \rfloor)_{n\in \mathbb{N}}$ 表现为独立的、均值为 $\log\log n$、标准差为 $\sqrt{ \log \log n}$ 的正态分布随机变量。我们的主要结果还蕴含了 Chowla 猜想的一个变体，即 $(\lambda(n) \lambda ( \lfloor \alpha n \rfloor))_{n \in \mathbb{N}}$ 的对数平均值趋于 $0$。