对数值的线性独立性再探

设 $m\ge 2$ 为整数，$K$ 为代数数域，$\alpha\in K\setminus \{0,-1\}$ 且绝对值足够小。在本文中，我们给出了在复数与 $p$-进情形下，以代数整数系数为 $1,{\rm{log}}(1+\alpha),\ldots,{\rm{log}}^{m-1}(1+\alpha)$ 的线性型的新的下界（见定理 $2.1$ 与定理 $2.4$）。特别地，在复数情形下，我们的结果改进了 Nesterenko-Waldschmidt 关于某些对数幂次值的线性型下界的结果。主要工具基于 Hermite-Mahler 对指数与对数函数的 Pad\'{e} 逼近。