关于小型研讨会问题

广义Oberwolfach问题要求将完全图$K_v$分解为给定的$2$-因子以及至多一个$1$-因子。当所有$2$-因子两两同构且$v$为奇数时，我们得到经典的Oberwolfach问题，该问题最初表述为一个座位问题：给定某会议有$v$名与会者、$t$张圆桌，其中第$i$张桌坐$a_i$人且${\sum_{i=1}^t a_i = v}$，求会议$\frac{v-1}{2}$天内的座位安排，使得每两人恰好相邻一次。本文引入相关的{\em 小型研讨会问题}，其要求在$v$个顶点上给出广义Oberwolfach问题的一个解，且该解包含一个基于$m$个顶点的子系统。亦即，限制于所需$m$个顶点上的分解是$m$个顶点上广义Oberwolfach问题的一个解。在上述座位背景中，较大的会议包含一个由$m$名参与者组成的小型研讨会，并且我们还要求这$m$名参与者中的成对者在$\left\lfloor\frac{m-1}{2}\right\rfloor$天里相邻而坐。当圈长尽可能大，即$v$、$m$与$v-m$时，Hilton与Johnson的一种灵活方法给出了解。我们利用该结果在$v \equiv m \equiv 2 \pmod 4$且所有圈长均为偶数时给出进一步的解。此外，我们在所有圈长均等于$k$的情形下给出广泛结果，解决了所有$m\mid v$的情形，仅当$k$为奇数且$v$为偶数时可能例外。