关于 Hamilton-Waterloo 问题：两种不同奇偶性圈长的情况

Hamilton-Waterloo 问题要求将完全图分解为 $r$ 个 2-因子 $F_{1}$ 的副本和 $s$ 个 2-因子 $F_{2}$ 的副本，使得 $r+s=\left\lfloor\frac{v-1}{2}\right\rfloor$。若 $F_{1}$ 由 $m$-圈组成且 $F_{2}$ 由 $n$-圈组成，则称此种分解为 $(m,n)-$HWP$(v;r,s)$。目标是为每一对可能的 $(r,s)$ 找到分解。在本文中，我们证明对于奇数 $x$ 和 $y$，当 $\gcd(x,y)\geq 3$、$m\geq 3$ 且 $x$ 和 $y$ 均整除 $v$ 时，存在 $(2^kx,y)-$HWP$(vm;r,s)$，除可能当 $1\in\{r,s\}$ 时。