关于圈长具有不同奇偶性的 Hamilton-Waterloo 问题

令 $K_v^*$ 表示完全图 $K_v$（若 $v$ 为奇数）或 $K_v-I$（即去掉一个 1-因子边的完全图，若 $v$ 为偶数）。给定非负整数 $v, M, N, \alpha, \beta$，Hamilton-Waterloo 问题寻求 $K^*_v$ 的一个 $2$-因子分解，分解为 $\alpha$ 个 $C_M$-因子与 $\beta$ 个 $C_N$-因子。显然，$M,N\geq 3$、$M\mid v$、$N\mid v$ 以及 $\alpha+\beta = \lfloor\frac{v-1}{2}\rfloor$ 是必要条件。关于 $M$ 与 $N$ 奇偶性不同的情况所知甚少。在本文中，我们在此情形上取得一些进展，尤其证明了：上述必要条件在 $M|N$、$v>6N>36M$ 且 $\beta\geq 3$ 时均为充分的。