变环长的有向奥伯沃尔法赫问题：一种递归构造

有向奥伯沃尔法赫问题OP$^\ast(m_1,\ldots,m_k)$询问：在假设$n=m_1+\ldots +m_k$的条件下，完全对称有向图$K_n^\ast$是否可分解为生成子有向图的并，其中每个生成子有向图是长度为$m_1,\ldots,m_k$的$k$个有向环的不交并。本文描述了一种方法，在$m_1,\ldots,m_k$满足特定条件时，由OP$^\ast(m_1,\ldots,m_\ell)$（对某$\ell<k$）的解构造OP$^\ast(m_1,\ldots,m_k)$的解。该方法使我们能将OP$^\ast(m_1,\ldots,m_\ell)$的解扩展为OP$^\ast(m_1,\ldots,m_\ell,t)$的解，以及扩展为OP$^\ast(m_1,\ldots,m_\ell,2^{\langle t \rangle})$的解，其中$2^{\langle t \rangle}$表示$t$个2的副本，只要$t$足够大。特别地，我们的递归构造使我们能有效处理两桌有向奥伯沃尔法赫问题。我们证明OP$^\ast(m_1,m_2)$对所有$2 \le m_1\le m_2$均有解，唯一的确定例外是$m_1=m_2=3$，以及一种可能例外：当$m_1 \in \{ 4,6 \}$，$m_2$为偶数且$m_1+m_2 \ge 14$时。先前已证明若$m_1+m_2$为奇数则OP$^\ast(m_1,m_2)$有解，且OP$^\ast(m,m)$有解当且仅当$m \ne 3$。除解决许多其他OP$^\ast$情形外，我们证明当$2 \le m_1+\ldots +m_k \le 13$时，OP$^\ast(m_1,\ldots,m_k)$有解当且仅当$(m_1,\ldots,m_k) \not\in \{ (4),(6),(3,3) \}$。