若干 Goppa 码与 BCH 码的最近距离
信息论
2026-04-29 v1 math.IT
摘要
Goppa 码是alternant 码中重要的一类，在代数编码理论和密码学中具有广泛应用。确定 Goppa 码的真正最近距离是一个困难问题。本文给出 Goppa 码达到设计距离 δ=t+1 的必要充分判据，其中 t 为 Goppa 多项式的次数。作为应用，我们确定了若干类 q 进制 Goppa 码的最近距离。特别是，我们证明了野性 Goppa 码紧密的下界，扩展了 G(x)=x^t+A 从二进制情形到任意奇素幂的情形。随后我们将判据专用于单项式情形 G(x)=x^t，这等价于原始 BCH 码。这导致若干原始 BCH 码的无限系列具有 d=δ，包括二进制码 C_{(2,2^m-1,9,1)} 和 C_{(2,2^m-1,15,1)}，以及奇素数 p 的系列 C_{(p,p^p-1,2p+2,1)}，以及 r|q-1 的系列 C_{(q,q^m-1,r(q^m-1)/(q-1)+1,1)}。特别是，我们证明原始 BCH 码 C_{(q,q^m-1,q^t+1,1)} 在 t|m 的条件下具有最近距离 q^t+1，改进了先前已知条件 pt|m。
引用
@article{arxiv.2604.25354,
title = {On the Minimum Distances of Some Families of Goppa Codes and BCH Codes},
author = {Yaqi Chen and Hao Chen and Cunsheng Ding and Huimin Lao},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.25354},
year = {2026}
}