论非线性微分方程的直接定义逆映射方法

在科学计算中，计算微分方程 ${\mathscr A}\varphi = f$ 的逆算子 ${\mathscr A}^{-1}$ 非常耗时，尤其是当 ${\mathscr A}$ 是高度非线性算子时。本文基于同伦分析方法（HAM），提出了一种新方法，即直接定义逆映射方法（MDDiM），以获得非线性微分方程的解析近似。换言之，可以通过直接定义逆映射 $\mathscr J$ 来求解非线性微分方程 ${\mathscr A}\varphi = f$，即无需计算任何逆算子。这里，逆映射 $\mathscr J$ 甚至不需要以微分形式显式表达，因为“映射”是比“微分算子”更一般的概念。为了指导如何直接定义逆映射 $\mathscr J$，提供了一些规则。此外，证明了一个收敛定理，保证了 MDDiM 给出的收敛级数解必定是所考虑问题的解。此外，使用三个非线性微分方程来说明 MDDiM 的有效性和潜力，特别是对于各种类型非线性问题直接定义逆映射的极大自由度和高度灵活性。直接定义逆映射方法（MDDiM）可能会开辟一条全新的、更一般的途径来解决科学与工程中的非线性问题，这与传统方法根本不同。