关于 p:-q 共振鞍点的最大鞍点阶

本文中，我们得到了鞍点阶的一些估计，鞍点阶是任意次数 $n$ 平面多项式向量场不可积共振鞍点的唯一拓扑不变量。首先，我们证明对任意给定的共振 $p:-q$，$(p, q)=1$，以及充分大的整数 $n$，最大鞍点阶至少可增长得如 $n^2$ 般快。其次，我们证明存在整数 $k_0$，其至少可增长得如 $3n^2/2$ 般快，使得 $L_{k_0}$ 不属于由前 $k_0-1$ 个鞍点值 $L_1, L_2, \cdots, L_{k_0-1}$ 生成的理想，其中 $L_{k}$ 表示给定系统的第 $k$ 个鞍点值。特别地，若 $p=1$（或 $q=1$），我们得到更尖锐的结果：$k_0$ 至少可增长得如 $2 n^2$ 般快。