关于稀疏多边形 Ehrlin 多项式 magic 积性的研究

一个次数为 $d$ 的多项式 $f(x)$ 若在依据基底 $\{x^i(x+1)^{d-i}\}_{i=0}^d 展开后所有系数均为非负数， 则称其为 magic 积性。已知若$f(x)$为 magic 积性，则其生成函数分子中的多项式具有实根。本文证明：对于一个系数为正实数的多项式$f(x)$，存在正实数$k$，使得对任意$k' \geq k$，$f(k'x)$均为 magic 积性。进一步地，对于任意整数$d \geq 3$，我们证明存在$d$维多边形$P$，使得给定整数$k$时$kP$ 的 Ehrlin 多项式非 magic 积性。最后，我们研究了特定多边形稀释程度以使其 Ehrlin 多项式达到 magic 积性所需的程度。