多面体复形的 Ehrhart f*-系数为非负整数

整多面体 $P$ 的 Ehrhart 多项式 $L_P$ 统计了 $P$ 的整倍扩缩中的整点数量。多面体的 Ehrhart 多项式通常用其 Ehrhart $h^*$-向量（亦称 Ehrhart $\delta$-向量）来描述，该向量是 $L_P$ 相对于特定二项式基的系数向量，且与 $P$ 的正则幺模三角剖分（若存在）的 $h$-向量一致。Stanley 关于多面体 $h^*$-向量的一个重要结果是它们的分量总是非负的。然而，Ehrhart 理论最近的组合学应用产生了一些 $h^*$-向量包含负分量的多面体复形。在本文中，我们引入了多面体或更一般地多面体复形 $K$ 的 Ehrhart $f^*$-向量。这些同样是 $L_K$ 相对于多项式空间中特定二项式基的系数向量，且具有如下性质：幺模单纯复形的 $f^*$-向量与其 $f$-向量一致。本文的主要结果是为 $f^*$-系数提供了一个计数解释，从而推出整多面体复形的 $f^*$-系数总是非负整数。即使多面体复形没有幺模三角剖分且其 $h^*$-向量确实包含负分量，该结论依然成立。我们的主要技术工具是将单纯锥中的格点集划分为离散锥的一种新划分。其他结果包括对整部分多面体复形的 Ehrhart 多项式的完整刻画，以及有理多面体复形 $f^*$-向量的非负性定理。