弱阻尼随机驱动KdV方程光滑解的长时统计行为研究

本文考虑带有白噪声时间相关且空间光滑随机源项的周期阻尼Korteweg-de Vries (KdV)方程，并研究解的长时行为。我们表明，KdV的守恒积分可用于证明阻尼随机KdV不变测度的正则性与遍历性质。首先，通过考虑守恒积分的非平凡修正，我们证明了全局时间上各正则性阶次的解的Sobolev范数矩均有界，从而建立Lyapunov结构；不变测度的存在性随之立即得出。其次，我们证明了阻尼随机KdV的一个弱Foias-Prodi型估计，其中同步发生在期望值意义下。该估计在我们后续分析中起关键作用。作为第一个新颖应用，我们将Foias-Prodi估计与Lyapunov结构结合，证明若外部驱动力光滑，则不变测度支撑于光滑函数上。随后我们建立不变测度的遍历性质，分别处理任意阻尼与大阻尼两种情形。对于任意阻尼，我们证明只要相空间中足够多方向受随机强迫，便可将“渐近耦合”框架用于不变测度唯一性的简洁证明。我们的证明对具有弱Foias-Prodi型性质的SPDE具有范式意义。最后，对于大阻尼，我们建立了关于类Wasserstein距离的光谱隙，并由此得到指数混合与不变测度唯一性。