关于具有固定自同构群的光滑平面曲线轨迹

在本文中，我们研究了 $\widetilde{M_g^{Pl}(G)}$ 的不可约性的若干方面及其与“范式”存在的相互关系，即非奇异平面方程（依赖于一组参数），使得参数的特化给出与 $\widetilde{M_g^{Pl}(G)}$ 中元素相关联的某种非奇异平面模型。特别地，我们引入了方程强不可约（ES-Irreducible）的概念，对于该概念，轨迹 $\widetilde{M_g^{Pl}(G)}$ 由单一的“范式”表示。Henn 与 Komiya-Kuribayashi 观察到 $\widetilde{M_3^{Pl}(G)}$ 是 ES-Irreducible。在本文中，我们证明该现象对于任意奇数 $d>4$ 均不发生。更确切地说，令 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 为 $m$ 阶循环群，我们证明对于任意奇数整数 $d\geq5$，$\widetilde{M_g^{Pl}(\mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z})}$ 不是 ES-Irreducible，且其不可约分支的数量至少为二。此外，对于轨迹 $\widetilde{M_{10}^{Pl}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})}$，我们在 $d=6$ 时证实了前述结果。最后，我们证明了当 $K$ 为任意满足 $p>(d-1)(d-2)+1$ 的正特征 $p$ 的代数闭域时，这些陈述的类似结论。