关于投影映射 $T(V)\to S(V)$ 的核

若 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间，我们考虑从张量代数到对称代数的投影 $\rho_{T,S}:T(V)\to S(V)$。我们在 $\S$1 中的主要结果给出了 $\ker\rho_{T,S}$ 的描述。具体而言，我们考虑 ${\mathbb Z}_{\geq 2}$-分次 $T(V)$-双模 $T(V)\otimes\Lambda^2(V)\otimes T(V)$，并定义 $M(V)=(T(V)\otimes\Lambda^2(V)\otimes T(V))/W_M(V)$，其中 $W_M(V)$ 是 $T(V)\otimes\Lambda^2(V)\otimes T(V)$ 中由 $[x,y]\otimes\xi\otimes z\wedge t-x\wedge y\otimes\xi\otimes [z,t]$（其中 $x,y,z,t\in V$ 且 $\xi\in T(V)$）以及 $[x,y\wedge z]+[y,z\wedge x]+[z,x\wedge y]$（其中 $x,y,z\in V$）生成的子双模。（若 $\eta\in T(V)$ 且 $\xi\in T(V)\otimes\Lambda^2(V)\otimes T(V)$（或反之），则 $[\eta,\xi ]:=\eta\otimes\xi -\xi\otimes\eta\in T(V)\otimes\Lambda^2(V)\otimes T(V)$。）则 $M(V)$ 是一个 ${\mathbb Z}_{\geq 2}$-分次 $T(V)$-双模。若 $\eta\in T(V)\otimes\Lambda^2(V)\otimes T(V)$，我们用 $[\eta ]$ 表示其在 $M(V)$ 中的类。${\bf 定理}$ 我们有正合序列 $$0\to M(V)\xrightarrow{\rho_{M,T}}T(V)\xrightarrow{\rho_{T,S}}S(V)\to 0,$$ 其中 $\rho_{M,T}$ 由 $[\eta\otimes x\wedge y\otimes \xi ]\mapsto\eta\otimes [x,y]\otimes\xi$（$\forall x,y\in V$，$\eta,\xi\in T(V)$）给出。在 $\S$2 中我们定义分次代数 $S'(V)=T(V)/W_{S'}(V)$，其中 $S'(V)\subseteq T(V)$ 是由 $x\otimes y\otimes z- y\otimes z\otimes x$（$x,y,z\in V$）生成的理想，并证明存在正合序列 $$0\to\Lambda^{\geq 2}(V)\xrightarrow{\rho_{\Lambda^{\geq 2},S'}}S'(V)\xrightarrow{\rho_{S',S}}S(V)\to 0.$$ 当我们考虑 2 次齐次部分时，有 $M^2(V)=\Lambda^2(V)$ 且 $S'^2(V)=T^2(V)$。则上述两个短正合序列都变为 $0\to\Lambda^2(V)\to T^2(V)\to S^2(V)\to 0$，其中第一个态射由 $x\wedge y\mapsto [x,y]=x\otimes y-y\otimes x$ 给出，这是一个熟知的结果。