关于奇异点的雅可比多边形与Łojasiewicz 指数

给定由单值函数 $f:(\mathbb{C}^{n+1},0) \to (\mathbb{C},0)$ 定义的奇异点 $(X,0) \subset (\mathbb{C}^{n+1},0)$，我们引入 Teissier 雅可比牛森多边形的交替版本，关联复离散奇异点，并证明两者不变量均可由嵌入解析解决 $(X,0)$ 表示。交替版本的公式优势在于：对于牛顿非退化函数，可通过牛顿图面积计算，而非交替版本的类似公式包含混合体积。牛顿纤维可给定手体分解，手柄对应于奇异点的一般平面截面中与极坐标曲的交点。这一方式可获得一 Morse-Smale 复合物。Teissier 将极坐标曲的每个分支关联一个消失率，我们展示这可诱导出 Morse-Smale 复合物的滤除序列。我们将此结果应用于以交替雅可比多边形计算 Łojasiewicz 指数的公式，但我们期望其亦具有独立的兴趣。对于牛顿非退化奇异点，本结果可产生 Łojasiewicz 指数的公式，表达式为特定子图的牛顿数的函数。这一命题与 Brzostowski、Krasinski 和 Oleksik 的猜想相关，我们提供了反例。我们的 Łojasiewicz 指数公式基于牛顿图上的全局计算，而非局部指定要考虑的分面子集，正如该猜想所述。我们推测类似命题亦可成立，这一公式受牛顿图局部 $h$-向量非负性的启发。