三次多项式的交集分布及相关问题

Gohar Kyureghyan; Shuxing Li; Alexander Pott

三次多项式的交集分布及相关问题

组合数学 2020-03-24 v1 信息论 math.IT

作者: Gohar Kyureghyan , Shuxing Li , Alexander Pott

摘要

有限域 $\mathbb{F}_q$ 上多项式 $f$ 的交集分布最近由 Li 和 Pott（arXiv:2003.06678v1）提出，它关注多项式集合 $\{f(x)+cx \mid c \in \mathbb{F}_q\}$ 的集体行为。交集分布具有潜在的几何解释，它刻画了 $f$ 的图与仿射平面 $AG(2,q)$ 中直线之间的相交模式。当 $q$ 为偶数时，长期未决的 o-多项式分类问题可以简洁地重新表述为：分类所有与 $x^2$ 具有相同交集分布的多项式。受此联系的启发，我们进而考虑次最简单情形，推导了 $\mathbb{F}_q$ 上所有三次多项式（ $q$ 奇偶皆可）的交集分布。此外，我们着手分类所有与 $x^3$ 具有相同交集分布的单项式，得到了此类单项式的一些刻画并提出了一个猜想。另外，给出了三次多项式交集分布的两个应用：其一是构造非同构的 Steiner 三元系，其二是生成仿射平面中具有此前未知大小的无限族 Kakeya 集。

关键词

交集分布三次多项式有限域 o-多项式 Steiner 三元系 Kakeya 集仿射平面

引用

@article{arxiv.2003.10040,
  title  = {On the intersection distribution of degree three polynomials and related topics},
  author = {Gohar Kyureghyan and Shuxing Li and Alexander Pott},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2003.10040},
  year   = {2020}
}

备注

24 pages, submitted

三次多项式的交集分布及相关问题

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关键词

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