有限域上射影直线的循环覆盖上的点的加权分布

给定有限域 $\mathbb{F}_{q}$，我们研究由形如 $C_{f} : y^{m} = f(x)$ 的多项式方程给出的（可能奇异的）仿射曲线上 $\mathbb{F}_{q}$-点的数量分布，其中 $f$ 是从 $\mathbb{F}_{q}[x]$ 中固定集合 $\mathcal{F}(\mathbb{F}_{q})$ 的多项式中随机选取，且固定 $m \geq 2$。在某些条件下，这些方程是射影直线的循环 $m$-覆盖的仿射模型。先前，不同作者获得了关于与某些多项式集合 $f$ 相关的曲线上点分布的渐近结果，这些集合由 $f$ 的大次数或从仿射方程 $C_{f}$ 得到的光滑、射影且几何不可约曲线 $\tilde{C}_{f}$ 的大亏格定义，当次数或亏格趋于无穷时。我们将他们的策略总结为一个引理，该引理给出了固定集合 $\mathcal{F}(\mathbb{F}_{q})$ 中具有指定值的多项式数量的充分条件，从而自动给出与该集合相关的仿射曲线上点的分布。我们给出无穷多个满足该充分条件的集合 $\mathcal{F}(\mathbb{F}_{q})$ 的新例子，从而当某个不变量趋于无穷时产生无穷多个新分布。本文的主要目标是展示将一个取为无穷的不变量改变如何改变所得的曲线上点的分布。