关于解析映射的插值

设 $(E_0,E_1)$ 和 $(H_0,H_1)$ 为一对 Banach 空间，其中 $E_1$ 稠密且连续嵌入 $E_0$，$H_1$ 稠密且连续嵌入 $H_0$。对于 $\theta \in [0,1]$，用 $B_\theta(0,R)$ 表示插值空间 $E_\theta$ 中以零为中心、半径为 $R$ 的球。假设解析映射 $\Phi$ 将球 $B_0(0,R)$ 映射入 $H_0$，将球 $B_1(0,R)$ 映射入 $H_1$，且对于 $\theta =0,1$，估计式 $$\|\Phi(x)\|_{H_\theta} \le C_\theta\|x\|_{H_\theta}, \forall\ x\in B_\theta(0,R),$$ 成立。那么对于所有 $\theta\in(0, 1)$ 和 $r<R$，$\Phi$ 将球 $B_\theta (0,r)$ 映射入 $H_\theta$，且若将常数 $C_\theta$ 替换为 $C_0^{1-\theta}C_1^\theta R/(R-r)$，则对于 $x\in B_\theta(0,r)$ 同样的估计式也成立。