关于闭测地线问题的同调理论

设 $\Lambda X$ 是单连通有限 $CW$ 复形 $X$ 上的自由环路空间，$\beta_{i}(\Lambda X;\Bbbk)$ 是 $H^{i}(\Lambda X;\Bbbk)$ 的最小生成集的基数，其中 $\Bbbk$ 是含幺交换环。序列 $\beta_{i}(\Lambda X;\Bbbk)$ 无界增长当且仅当 $\tilde {H}^{\ast}(X;\Bbbk)$ 至少需要两个代数生成元。这特别回答了一个长期存在的问题：在任意黎曼度量下，单连通闭光滑流形是否具有无穷多条几何上不同的闭测地线。