关于带符号跳跃的蚱蜢问题

2009年在德国举行的第50届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）的第6题如下：设$a_1,a_2,...,a_n$为互不相同的正整数，$M$为一个包含$n-1$个正整数的集合，且$s=a_1+a_2+...+a_n$不在$M$中。一只蚱蜢沿实数轴跳跃，从点0出发，向右进行$n$次跳跃，跳跃长度分别为$a_1,a_2,...,a_n$（顺序可任意排列）。证明：可以安排跳跃顺序，使得蚱蜢永远不会落在$M$中的任何点上。该问题在许多在线论坛上被讨论，既有学生群体，也有资深数学家。尽管有人尝试使用Noga Alon著名的组合零点定理（Combinatorial Nullstellensatz）来解决该问题，但迄今为止，所有已知的IMO问题解法都是初等且归纳的。本文证明，如果省略$a_1,...a_n$为正数的条件，则允许我们应用多项式方法来求解修改后的问题。