环球跳跃

我们考虑圆与球面上蝗虫问题（Goulko 与 Kent，2017）的若干版本，这些版本与 Bell 不等式相关。对于周长为 $2\pi$ 的圆，我们证明对于任意长度的无约束草坪与任意跳跃长度，蝗虫跳跃后停留在草坪上的概率的上确界为 1。对于对径草坪（按定义恰含每对对径点中的一个且长度为 $\pi$），我们证明除跳跃长度 $\phi$ 形如 $\pi\frac{p}{q}$（其中 $p,q$ 互素且 $p$ 为奇数）外，该结论成立。对于这些跳跃长度，我们证明最优概率为 $1 - 1/q$ 并构造了最优草坪。对于一对对径草坪，我们证明从其中一个跳到另一个的最优概率在 $p,q$ 互素、$p$ 为奇数且 $q$ 为偶数时为 $1 - 1/q$，其余情形均为 1。对于球面上的对径草坪，已知（Kent 与 Pital'ua-Garc'ia，2014）若 $\phi = \pi/q$，其中 $q \in \mathbb N$，则半球面草坪给出蝗虫跳跃的最优保留概率 $1-1/q$。我们证明在 $0<\phi < \pi/2$ 的所有其他情形中，半球面草坪并非最优，从而反驳了半球着色极大性假设（Kent 与 Pital'ua-Garc'ia，2014）。我们讨论了其对 Bell 实验及相关密码学检验的启示。