关于特征多项式系数的梯度

我们证明了二元 Cayley-Hamilton 定理，这是经典 Cayley-Hamilton 定理的一个强大的推广。二元 Cayley-Hamilton 定理有三个直接的推论，通常是独立地被证明的：经典的 Cayley-Hamilton 定理、Girard-Newton 恒等式，以及特征多项式的系数和行列式具有多项式大小的代数分支程序（ABP）在任意交换环上。最后一点此前只能从独立的构造中获得，而现在我们可以将其作为这个更一般的陈述的直接推论。二元 Cayley-Hamilton 定理的表述涉及特征多项式系数的梯度，这是余因子矩阵的一个推广。分析这个梯度，我们获得了行列式和特征多项式每个系数的另一个新的 ABP。这个 ABP 的大小只有当前纪录持有人（由 Mahajan-Vinay 于1997年构造）的三分之一，宽度只有一半。这是该问题28年来第一次改进。我们的 ABP 建立在特征多项式系数的一阶偏导数恒等式之上，不使用 ad-hoc 组合概念的 clow 序列。这解答了来自1999年 Mahajan-Vinay 的26年前的开放问题，关于 clow 序列是否必需。我们以组合方式证明所有结果，首次看起来类似于 Mahajan-Vinay，但更接近 Straubing 和 Zeilberger 的构造。