关于一些代数恒等式与双重形式外积的研究

我们利用双重形式的外积重新表述了关于矩阵与双线性型的著名经典线性代数结果，即 Cayley-Hamilton 定理、行列式的 Laplace 展开、Newton 恒等式以及行列式的 Jacobi 公式。随后，这一新形式体系被用于将上述结果自然地推广至更高阶的多重线性形式，即双重形式。特别地，我们证明了：将 Cayley-Hamilton 定理应用于欧氏空间超曲面的第二基本形式时，它等价于 Gauss-Bonnet 定理的线性化版本；而将其推广形式应用于 Riemann 曲率张量（视为 $(2,2)$ 双重形式）时，则是广义 Gauss-Bonnet-Chern 定理的无穷小版本。此外，广义 Cayley-Hamilton 定理生成了若干普适曲率恒等式。行列式的经典 Laplace 展开向双重形式的推广被证明可导出所有 Gauss-Bonnet 曲率的新广义 Avez 型公式。