外代数中的不变量理论与 Amitsur-Levitzki 型定理

本文讨论了一些外代数中的不变量理论，这些理论与 Amitsur-Levitzki 型定理密切相关。首先，我们考虑大小为 $n$ 的方阵向量空间上的外代数，并研究共轭作用下的不变量。我们发现，这些不变量的代数同构于一个 $n$ 维向量空间上的外代数。此外，我们为这些不变量给出了一个 Cayley-Hamilton 型定理（Cayley-Hamilton 定理的反交换版本）。该 Cayley-Hamilton 型定理也可视为对 Amitsur-Levitzki 定理的细化。我们讨论了另外两个与外代数中不变量理论相关的 Amitsur-Levitzki 型定理。一个是由于 Kostant 和 Rowen 提出的著名 Amitsur-Levitzki 型定理，它与 $\Lambda(\Lambda_2(V))$ 中的 $O(V)$-不变量有关。另一个是新的 Amitsur-Levitzki 型定理，它与 $\Lambda(\Lambda_2(V) \oplus S_2(V^*))$ 中的 $GL(V)$-不变量有关。