关于具有 $21$ 个自同构的伪射影平面的几何

伪射影平面是与 $\mathbb{C} P^2$ 有相同贝蒂数但并不同全纯的复曲面。我们研究 Cartwright-Steger 分类中的伪射影平面 $\mathbb{P}_{\operatorname{fake}}^2 = (a = 7, p = 2, \emptyset, D_3 2_7)$。本文利用由 $\operatorname{Aut}(\mathbb{P}_{\operatorname{fake}}^2) = C_7 \rtimes C_3$ 给出的巨大对称性，将该曲面嵌入 $\mathbb{C} P^5$ 中，表示为具有 $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ 中系数的 $56$ 个六次曲线组成的系统。对于每个挠线丛 $T \in \operatorname{Pic}(\mathbb{P}_{\operatorname{fake}}^2)$，我们还计算并研究了小 $n$ 时的线性系统 $|nH + T|$，其中 $H$ 是 Néron-Severi 群的一个丰富生成元。