关于某些可解线性群的有限性长度

给定交换含幺环 $R$，我们证明：当群 $G$ 容许具有亚交换像的某些 $R$-表示时，其有限性长度上界由秩一 Borel 子群 $\mathbf{B}_2^\circ(R)=\left( \begin{smallmatrix} * & * \\ 0 & * \end{smallmatrix} \right)\leq\mathrm{SL}_2(R)$ 的有限性长度给出。结合 Bestvina--Eskin--Wortman 与 Gandini 的结果，这给出了 Bux 关于 $S$-算术 Borel 群有限性长度等式（的推广）的新证明。我们也给出 Strebel 一个未发表定理的另证，该定理用 $n$ 与 $\mathbf{B}_2^\circ(R)$ 刻画 Abels 群 $\mathbf{A}_n(R) \leq \mathrm{GL}_n(R)$ 的有限可表示性。这推广了 Remeslennikov、Holz、Lyul'ko、Cornulier--Tessera 的早期结果，并指向关于此类群有限性长度的一个猜想。