论图的2-边着色的表达能力

给定一个由2-边着色图组成的有限集合 $\mathcal F$ 和一个图的遗传性质 $\mathcal{P}$，如果图 $G$ 具有性质 $\mathcal{P}$ 当且仅当它存在一种2-边着色，使得 $\mathcal F$ 中的任何图都不是它的导出2-边着色子图，我们就说 $\mathcal F$ 表达了 $\mathcal{P}$。我们证明了某些经典的遗传类可以被三顶点上的某些2-边着色图集合所表达。随后，我们发起了对以下问题的系统研究：给定一个由2-边着色图组成的有限集合 $\mathcal F$，对 $\mathcal F$ 所表达的遗传性质进行结构刻画。在我们的主要结果中，当 $\mathcal F$ 由三顶点上的2-边着色图组成，且 (1) 模式至多有两条边，或 (2) $\mathcal F$ 由单色路径和一组着色三角形组成时，我们描述了 $\mathcal F$ 表达的所有遗传性质。在算法方面，我们考虑了 $\mathcal F$-free 着色问题，即判定输入图是否存在 $\mathcal F$-free 的2-边着色。由我们的结构刻画可得，对于 (1) 和 (2) 中考虑的所有集合，$\mathcal F$-free 着色问题均可在多项式时间内求解。我们通过向布尔约束满足问题的统一归约对这些易处理性结果进行了补充，该归约产生了多项式时间算法，能够识别由至多三顶点上的2-边着色图集合 $\mathcal F$ 表达的大多数图类。最后，我们展示了某些集合 $\mathcal F$ 使得 $\mathcal F$-free 着色问题是 NP 完全的。