关于基于群的提升的扩张性

一个 $n$ 顶点基图 $G$ 的 $k$-提升是一个拥有 $n\times k$ 个顶点的图 $H$，其中 $G$ 的每个顶点 $v$ 被 $k$ 个顶点 $v_1,\cdots{},v_k$ 替换，且 $G$ 中的每条边 $(u,v)$ 被一个表示双射 $\pi_{uv}$ 的匹配替换，使得 $H$ 的边形式为 $(u_i,v_{\pi_{uv}(i)})$。提升已被研究作为高效构造扩张图的一种手段。在本工作中，我们研究了从群和群作用获得的提升。我们通过底层群的表示论原理推导了此类提升的谱。我们的主要结果是：(1) 存在常数 $c_1$，使得对于每个 $k\geq 2^{c_1nd}$，不存在任何 $n$ 顶点 $d$-正则基图的阿贝尔 $k$-提升 $H$ 使得 $H$ 几乎是 Ramanujan 图（邻接矩阵的非平凡特征值幅值至多为 $O(\sqrt{d})$）。这可视为阿贝尔 Cayley 图众所周知的无扩张性结果的类比。(2) 任何 $n$ 顶点 $d$-正则基图 $G$（其邻接矩阵的非平凡特征值幅值以 $\lambda$ 为界）在 $k$ 阶循环群中的均匀随机提升，其新的非平凡特征值也以 $\lambda+O(\sqrt{d})$ 的幅值为界，概率为 $1-ke^{-\Omega(n/d^2)}。特别地，存在常数$c_2$，使得对于每个$k\leq 2^{c_2n/d^2}$，每个 Ramanujan 图在$k$阶循环群中都存在一个提升$H$，且$H$几乎是 Ramanujan 图。我们利用此结果设计了一种拟多项式时间算法，以确定性地构造几乎 Ramanujan 扩张图。$k=2^{O(n/d^2)}$阶循环群中存在扩张提升，可视为产生扩张提升的最大阿贝尔群阶数$k_0$的下界。我们的结果表明，$k_0$的下界与上界相匹配（指数部分相差至多$d^3$）。