负曲率空间上随机图的演化

在本工作中，我们研究了双曲空间上的一族随机几何图。在此设定下，N 个点随机选取于双曲空间上，任意两点以依赖于其双曲距离的概率连接成边，且各点对之间相互独立。特别地，当点的位置固定后，这些点上图集的分布为 Boltzmann 分布，其 Hamiltonian 由每对点的加权指示函数之和给出，权重正比于一个实参数 $\beta>0$（解释为逆温度）以及相应点间的双曲距离。这类随机图由 Krioukov 等人引入。我们对该模型的各个方面及其对参数 $\beta$ 的依赖性提供了严格分析，验证了他们的一些观察结果。我们证明了在 $\beta =1$ 附近发生相变。具体而言，我们表明当 $\beta > 1$ 时，典型顶点的度在概率意义上是有界的（事实上，它遵循一种分布，其在大值处表现出幂律尾部，且指数仅取决于空间的曲率）；而当 $\beta <1$ 时，度是一个随机变量，其期望值随 N 多项式增长。当 $\beta = 1$ 时，我们确立了对数增长。对于 $\beta > 1$ 的情况，我们建立了一类称为 Chung-Lu 模型的非齐次随机图的联系。假设我们使用双曲空间的 Poincar\'e 圆盘表示。如果我们以每个点到原点的距离为条件，那么给定两点相邻的概率可通过该非齐次随机图的核来表达。