关于 Airy 积分算子特征分解的求值

高斯系综软边缩放极限下第 $k$ 大能级的分布是随机矩阵理论中最重要的分布之一，其数值求值具有重大的实际意义。一种求值方法利用它们可表示为涉及所谓 Airy 积分算子的 Fredholm 行列式这一事实。当直接离散化该积分算子以计算其谱时，已知特征值至多具有绝对精度。值得注意的是，Airy 积分算子是所谓双谱算子的一个例子，它允许一个共享相同特征函数的交换微分算子。在本文中，我们基于该交换微分算子的特征分解，开发了一种高效数值算法，以全相对精度对 Airy 积分算子特征分解进行求值。这使得我们能在除左尾外的所有区域以全相对精度快速求值第 $k$ 大能级的分布，而在左尾处以绝对精度计算。此外，我们刻画了 Airy 积分算子的特征函数，并描述了其与涉及 Airy 变换的不确定性原理相关的极值性质。我们观察到 Airy 积分算子具有相当的普适性，并描述了其在光学中 Airy 光束上的一个独立应用。利用特征函数，我们计算了一束有限能量的 Airy 光束，它在光束同时最大集中、最大无衍射且自加速的意义下是最优的。