关于 MV-代数与具强单位 $l$-群之间的等价性

在"Lukasiewicz 公理完备性的新证明"（《美国数学学会汇刊》，第 88 卷）中，C.C. Chang 证明了任何全序 $MV$-代数 $A$ 都同构于一个具强单位 $u$ 的全序 $l$-群 $A^*$ 的片段 $A \cong \Gamma(A^*, u)$。这是通过将 $A$ 的可数副本（以整数为索引）相互堆叠这一简单的直观思想实现的。此外，他还证明了任何此类群 $G$ 都可以从其片段中恢复，因为 $G \cong \Gamma(G, u)^*$，从而建立了范畴等价。在"AF $C^*$-代数在 Lukasiewicz 命题演算中的解释"（《J. Funct. Anal.》第 65 卷）中，D. Mundici 将此结果推广到任意 $MV$-代数和具强单位的 $l$-群。他将 $A$ 表示为链 $A_i$ 的亚直积，并观察到 $A \overset {} {\hookrightarrow} \prod_i G_i$，其中 $G_i = A_i^*$。然后他令 $A^*$ 为 $A$ 在 $\prod_i G_i$ 内生成的 $l$-子群。他证明了这一思想可行，并通过其"好序列"概念及其复杂的算术运算，以相当复杂的方式建立了范畴等价。在本注记中，除 Chang 的结果外基本自包含，我们利用乘积 $l$-群 $\prod_i G_i$ 的算术直接给出这一等价性的简单证明，完全避免了"好序列"的概念。