关于相位为 H-J 方程弱 KAM 解的 WKB 波函数动力学

在平坦环面 $\Bbb T^n := (\Bbb R / 2\pi \Bbb Z)^n$ 上的环面伪微分算子框架下，我们首先证明了符号 $b \in S^m (\mathbb{T}^n \times \mathbb{R}^n)$ 的 Weyl 算子类 $\mathrm{Op}^w_\hbar(b)$ 在复合运算下的封闭性。随后，我们考虑 $\mathrm{Op}^w_\hbar(H)$，其中 $H=\frac{1}{2} |\eta|^2 + V(x)$ 且 $V \in C^\infty (\Bbb T^n;\Bbb R)$，并给出了 Schr"odinger 方程解的 Wigner 变换的环面版本方程。此外，我们证明了 Schr"odinger 方程解的 Wigner 变换（在弱意义下）收敛于 $\Bbb T^n \times \Bbb R^n$ 上以测度形式书写的 Liouville 方程的解。这些结果被应用于研究 Sobolev 空间 $H^{1} (\mathbb{T}^n; \Bbb C)$ 中的某些 WKB 型波函数，其相位函数属于 Hamilton-Jacobi 方程 $\frac{1}{2} |P+ \nabla_x v_\pm (P,x)|^2 + V(x) = \bar{H}(P)$ 的 Lipschitz 连续弱 KAM 解类（正型和负型），其中 $P \in \ell \Bbb Z^n$ 且 $\ell >0$；同时也用于研究支撑在 $P+ \nabla_x v_\pm$ 图像上的相关 Wigner 测度的向后和向前时间传播。