关于距离识别集元问题及其在图识别问题复杂性中的应用

众多利用距离识别图中顶点的问题在网络验证和图同构等领域很有用。将它们统一为一个元问题可能具有主要意义。我们在此引入一个有前景的解决方案，称为距离识别集。该模型包含识别码（IC）、定位支配集（LD）及其推广 $r$-IC 和 $r$-LD，其中闭邻域考虑到距离 $r$。它也包含度量维数（MD）及其细化 $r$-MD，其中若两顶点间真实距离超过 $r$ 则视其距离为无穷。注意虽然 IC = 1-IC 且 LD = 1-LD，我们有 MD = $\infty$-MD；我们说 MD 不是局部的。在本文中，我们通过提供从（平面）碰集到该元问题的通用归约，证明了距离识别集所包含的若干问题的计算下界。我们主要关注元问题中的两类问题族：第一类称为二部赠礼局部，包含每个正整数 $r$ 的 $r$-IC、$r$-LD 和 $r$-MD；第二类称为 1-层，包含每个正整数 $r$ 的 LD、MD 和 $r$-MD。我们有：- 1-层问题即使在二部 apex 图中也是 NP-难的，- 二部赠礼局部问题即使在二部平面图中也是 NP-难的，- 假设 ETH，当分别限制于二部平面或 apex 图时，这些问题不能在 $2^{o(\sqrt{n})}$ 内求解，且在二部图上不能在 $2^{o(n)}$ 内求解，- 即使限制于二部图，它们也不容许 $2^{O(k)}.n^{O(1)}$ 的参数化算法，除非 W[0] = W[2]。这里 $k$ 是相关识别集的解大小。特别地，度量维数在 ETH 下不能在 $2^{o(n)}$ 内求解，回答了 Hartung 在 2013 年的一个问题。