关于图及其膨胀的密度
组合数学
2009-03-03 v1
摘要
Chung、Graham和Wilson关于拟随机图的定理断言，在所有边密度为p的图中，随机图G(n,p)包含最小密度的K_{t,t}（大小为2t的完全二部图）副本。由于K_{t,t}是边的t-膨胀，因此出现了一个有趣的开放问题：在所有三角形密度为p^3的图中，随机图G(n,p)是否包含最小密度的K_{t,t,t}（三角形的t-膨胀）？我们的主要结果通过证明对于某些膨胀，答案必定是肯定的，从而表明上述问题的答案是肯定的。更正式地，我们证明如果G的三角形密度为p^3，则存在某个2 <= t <= T(p)，使得G中K_{t,t,t}的密度至少为p^{(3+o(1))t^2}，这（在o(1)项内）等于G(n,p)中K_{t,t,t}的密度。我们还考虑了关于偏斜膨胀的类似问题，表明有些令人惊讶的是，那里的行为有所不同。我们还提出了与这些问题相关的几个猜想，并讨论了在其他领域的一些应用。
引用
@article{arxiv.0903.0198,
title = {On the Density of a Graph and its Blowup},
author = {Asaf Shapira and Raphael Yuster},
journal= {arXiv preprint arXiv:0903.0198},
year = {2009}
}