关于两个二次函数范围集合凸性的研究

给定 $n\times n$ 对称矩阵 $A$ 和 $B$，Dines 于 1941 年证明了联合范围集合 $\{(x^TAx,x^TBx)|~x\in\mathbb{R}^n\}$ 必然为凸集。我们的论文关注关于范围集合 $\mathbf{R}(f,g) = \{\left(f(x),g(x)\right)|~x \in \mathbb{R}^n,\}$，其中 $f(x) = x^T A x + 2a^T x + a_0$ 和 $g(x) = x^T B x + 2b^T x + b_0$ 的非齐次扩展。我们证明 $\mathbf{R}(f,g)$ 为凸集当且仅当任意两个水平集 $\{x\in\mathbb{R}^n|f(x)=\alpha\}$ 和 $\{x\in\mathbb{R}^n|g(x)=\beta\}$ 彼此不分离。通过提出关于分离的新几何概念，我们提供了一个多项式时间的程序来实际检查给定的 $\mathbf{R}(f,g)$ 是否为凸集。