关于组合余微分的一致性
微分几何
2018-11-13 v2 代数拓扑
数值分析
摘要
1976 年，Dodziuk 和 Patodi 利用 Whitney 形式在余链上定义了组合余微分算子，并提出一个问题：对于足够光滑的微分形式，当三角剖分细化时，相关余链的组合余微分是否收敛于该形式的外余微分（即是否具有一致性）。1991 年，Smits 证明了在二维情况下，若初始三角剖分以完全规则的方式（将每个三角形细分为四个相似三角形）进行细化，则应用于 1-形式的组合余微分具有一致性。在本文中，我们将 Smits 的结果推广至任意维度，表明如果三角剖分在某种精确意义上是均匀的或分段均匀的，则 1-形式上的组合余微分具有一致性。我们还表明这种对三角剖分的限制是必要的，并给出了一个反例，其中使用了不同的规则细化过程，即 Whitney 标准细分。此外，我们通过数值示例表明，对于三维空间中的 2-形式，即使对于最规则的细分过程，组合余微分也不具有一致性。
引用
@article{arxiv.1212.4472,
title = {On the consistency of the combinatorial codifferential},
author = {Douglas N. Arnold and Richard S. Falk and Johnny Guzmán and Gantumur Tsogtgerel},
journal= {arXiv preprint arXiv:1212.4472},
year = {2018}
}
备注
16 pages, 7 figures, 5 tables; version 2 has minor stylistic corrections, corresponds to version to appear in Transactions of the AMS 2014