关于组合对称符号模式的相容性及 2-相容符号模式类

符号模式是一个矩阵，其元素取自集合 $\{+,-,0\}$。一个 $n\times n$ 符号模式 $\mathcal{P}$ 被称为是相容的，如果其定性类中的每个实矩阵对于某个整数 $k$（$1\leq k\leq n$）恰好有 $k$ 个实特征值和 $n-k$ 个非实特征值。在文章 \cite{1} 中，作者为具有 $0$-对角线的不可约三对角模式是相容的建立了一个必要条件。随后，他们提出该条件对于此类模式是相容的也是充分的。在本文中，我们首先证明这个命题不成立。我们刻画了所有阶数至多为五的、具有 $0$-对角线的不可约三对角相容符号模式。此外，我们为不可约、组合对称的符号模式是相容的建立了有用的必要条件。最后，我们引入了所有 2-相容符号模式的类 $\Delta$，并为符号模式属于此类提供了几个必要条件。