最小累积代价图着色的计算复杂性

我们考虑寻找有向无环图 $G=(V,E)$ 的最小累积代价合法黑着色的计算复杂性。黑着色是一个节点集合序列 $P_0,\ldots, P_t \subseteq V$，必须满足以下性质：$P_0 = \emptyset$（初始时 $G$ 上没有石子），$\mathsf{sinks}(G) \subseteq \bigcup_{j \leq t} P_j$（每个汇聚节点在某个时刻被着色）且 $\mathsf{parents}\big(P_{i+1}\backslash P_i\big) \subseteq P_i$（只有当节点 $v$ 的所有父节点在上一轮都有石子时，我们才能在节点 $v$ 上放置新石子）。着色 $P_0,P_1,\ldots, P_t \subseteq V$ 的累积代价为 $\mathsf{cc}(P) = | P_1| + \ldots + | P_t|$。累积着色代价是数据无关内存困难函数的一个特别重要的安全性指标，而内存困难函数是密码哈希的重要原语。因此，高效的（近似）算法将是密码哈希函数密码分析的无价工具，因为它将提供一个自动化工具来确立计算该函数的摊销时空代价的紧致界限。我们证明了这样的工具不太可能存在。具体而言，我们证明了以下结果。(1) 寻找最小化累积代价的着色是 $\texttt{NP}\mbox{-}\texttt{Hard}$ 的。(2) 该问题的自然线性规划松弛具有 $\tilde{O}(n)$ 的可积性间隙，其中 $n$ 是 $G$ 中的节点数。我们猜想该问题是难以近似的。(3) 我们证明了一个相关问题，即寻找最小大小的子集 $S\subseteq V$ 使得 $\textsf{depth}(G-S) \leq d$，也是 $\texttt{NP}\mbox{-}\texttt{Hard}$ 的。事实上，在唯一博弈猜想下，不存在 $(2-\epsilon)$-近似算法。