某些图的 2-受限最优抓块数

设 $G=(V,E)$ 为一个简单图。图 $G$ 上的抓块配置是函数 $f:V\rightarrow \mathbb{N}\cup \{0\}$，将非负整数数量的抓块分配到每个顶点。配置 $f$ 的权重为 $w(f)=\sum_{u\in V}f(u)$，即抓块的总数。抓块操作指从顶点 $u$ 移除两个抓块并将一个抓块放置在相邻顶点 $v$。若配置 $f$ 中无顶点拥有超过 $t$ 个抓块，则称其为 $t$ 受限抓块配置 ($t$RPC)。$t$ 受限最优抓块数 $\pi_t^*(G)$ 是指在 $G$ 上的最小权重 $t$RPC，使得可以通过一系列抓块操作到达任意顶点。区分数 $D(G)$ 是指为图 $G$ 的顶点标注最少颜色数目，使得唯一保持该标色的自同态为平凡映射（即恒等映射）。本文研究半径至多为 $2$ 且区分为 $2$ 的树 $T$ 的 $2$ 受限最优抓块数，并枚举其 $2$ 受限最优抓块配置。同时研究一些在化学中具有重要意义的图的数值，如某些烷烃。