图的Rubbling数与最优Rubbling数的界

图上的一个卵石移动是从一个顶点移除两个卵石并在相邻顶点添加一个卵石。Rubbling是卵石移动的一个版本，其中允许一种额外的移动。在这种新移动中，从与顶点$u$相邻的顶点$v$和$w$各移除一个卵石，并在顶点$u$处添加一个额外的卵石。如果可以通过rubbling移动将一个卵石移动到该顶点，则称该顶点是从某个卵石分布可达的。rubbling数是保证从任意$m$个卵石的卵石分布出发，任何顶点都可达的最小数目$m$。最优rubbling数是保证存在一个$m$个卵石的卵石分布，使得任何顶点都可达的最小数目$m$。我们给出了rubbling数和最优rubbling数的界。特别地，我们找到了$n$顶点、直径为$d$的图的rubbling数的上界，以及直径为2的图的最大rubbling数的估计。我们还给出了最优rubbling数的一个紧上界，以及用直径表示的紧上下界。