稠密图中的卵石博弈

图顶点上的一组卵石配置若可通过一系列卵石移动步骤在任意给定根顶点上放置一枚卵石，则称其为可解的。图G的卵石数是指使得任意 pi(G) 枚卵石的配置均可解的最小整数 pi(G)。若图的卵石数等于其顶点数，则称其为0类图。若一个函数对于图序列而言，当卵石数渐近更多时随机选取的配置几乎必然可解，而渐近更少时几乎必然不可解，则其为一个卵石阈值。本文我们证明，具有至少 floor(n/2) 最小度的 n>=9 个顶点的图是0类图，每个部分具有至少336个顶点且最小度至少为 floor(m/2)+1 的二分图亦是如此。两个界均为最佳可能。此外，我们证明最小度为 d（其中 sqrt{n} << d）的图的卵石阈值为 O(n^{3/2}/d)，当 d 正比于 n 时该界紧。